1... 2. Objet de l'application de l'Algèbre à la Géométrie
3... 8. Développement sur quelques exemples
9... 14. Expressions élémentaires. Autres expressions rationnelles ou irrationnelles du second degré
15... 16. Principe de l'homogénéité
17. Scolie général
18... 22. Résolution de deux problèmes
23... 27. Interprétation des résultats négatifs développée sur un troisième problème
28... 32. Résolution et discussion complète d'un quatrième problème
33... 37. Exprimer la surface d'un triangle en fonction de ses trois côtés. - Même question pour le trapèze
38... 41. Déterminer la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle et le rayon du cercle circonscrit. - Problèmes qui s'en déduisent
42. Scolie général
Énoncés de questions à résoudre
43. Définition de la Géométrie analytique
44. Manière de fixer la position d'un point sur un plan
45... 47. Équations du point
48... 49. Expression de la distance entre deux points donnés
50... 55. Équation de la ligne droite; sa discussion.
56... 69. Questions préliminaires sur la ligne droite
70... 74. Équation du cercle. Des différentes formes que cette équation peut avoir
75... 78. Considérations générales sur les lieux géométriques
79... 87. Propositions sur la forme caractéristique de l'équation d'une ligne droite et de l'équation d'un cercle
88... 90. Usage des lieux géométriques dans la résolution des problèmes déterminés ou indéterminés
91... 94. Questions sur la ligne droite: propositions relatives aux triangles
95... 97. Questions sur le cercle: conditions pour que deux circonférences se touchent, se coupent, etc.; faire passer une circonférence par trois points donnés
98... 100. Problème des tangentes. - Définition générale de la tangente à une courbe. - Moyen analytique de fixer sa position en un point donné d'une courbe quelconque
101. Équation de la tangente au cercle
102. Détermination du coefficient d'inclinaison de la tangente à une courbe par la méthode des dérivées
103. Autre forme de l'équation de la tangente au cercle
104... 105. Sous-tangente; normale et sous-normale
106... 108. Tangente au cercle menée par un point pris hors de la circonférence. - Construction par les lieux géométriques. - Propriété déduite de cette construction
109. Problème sur les lieux géométriques
110. Remarque sur les problèmes indéterminés
111. Objet de la transformation des coordonnées
112... 123. Formules pour la transformation des coordonnées, et usage de ces formules
124... 125. Définition de l'ELLIPSE. - Foyers. - Construction de la courbe par points et d'un mouvement continu
126... 130. Équation de l'ellipse. - Centre, axes, sommets de la courbe.
131... 133. Discussion de l'équation M y 2 + N x 2 =P. - Moyen de la ramener à la forme A 2 y 2 + B 2 x 2 =A 2 B 2
134. Définition de l'HYPERBOLE. - Foyers. - Construction de la courbe par points
135... 138. Équation de l'hyperbole. - Centre, axes transverse et non transverse, sommets de la courbe. - Hyperbole équilatère. - Lignes de séparation entre les droites passant par le centre qui rencontrent la courbe et celles qui ne la rencontrent pas
139...140. Discussion de l'équation - Moyen de la ramener à la forme
141. Définition de la PARABOLE. - Foyer; directrice. - Construction de la courbe par points
142... 143. Équation de la parabole. - Paramètre
144... 146. Liaison des trois courbes; rapprochement entre l'hyperbole et la parabole; équation propre à représenter les trois courbes.
147...152. Autre manière d'établir la liaison des trois courbes; ce qu'on appelle directrice pour les trois courbes. - Raison des dénominations attribuées à ces courbes
153...156. On peut toujours faire disparaître le terme en xy. - Cas où l'équation peut être ramenée à la forme M y 2 + N x 2 = P. - Calcul des quantités M et N
157...158. Cas où l'équation peut être ramenée à la forme M y 2 + S x = 0 ou N x 2 + R y = 0. - Cas particuliers du système de deux droites parallèles
159... 161. Caractères analytiques des trois genres de courbes. - Variétés de ces courbes
162... 165. Mode de réduction de l'équation générale pour le cas de B 2 -4 AC< ou > 0
166. Interprétation du double signe des valeurs de M et de N dans l'équation réduite
167. Mode de réduction de l'équation générale pour le cas de B 2 - 4AC = 0
168... 169. Applications numériques de la méthode de réduction de l'équation générale par la transformation des coordonnées
170. Remarque sur la discussion précédente, d'où l'on déduit que le caractère géométrique des courbes représentées par les équations est indépendant de l'inclinaison des axes
171... 172. Caractères analytiques des points pris sur la courbe, au dedans et au dehors de la courbe
173. Relation entre les carrés des ordonnées des points de la courbe
174... 175. Rapport entre l'ordonnée de l'ellipse et celle du cercle décrit sur son grand axe. - Deux moyens de construire la courbe, fondés sur cette propriété
176. Quadrature de l'ellipse
177. Définition générale d'un diamètre. - Dans l'ellipse, tous les diamètres sont des lignes droites passant par le centre
178... 180. Diamètres conjugués. - L'ellipse a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, dont un seul rectangulaire, celui des axes principaux. - Propriétés des diamètres conjugués.
181... 185. Cordes supplémentaires; leurs propriétés et leurs relations avec les diamètres conjugués. - Limites de l'angle de deux diamètres conjugués et de deux cordes supplémentaires
186... 192. Tangente menée par un point de la courbe. - Sous-tangente. - Normale et sous-normale. -Discussion du coefficient angulaire de la tangente
193... 194. Tangente menée par un point extérieur à la courbe. - Construction par les lieux géométriques. - Propriété déduite de cette construction
195. Tangente menée parallèlement à une droite donnée
196. De la tangente considérée par rapport aux diamètres conjugués. - Procédé pour mener une tangente, 1° par un point donné sur la courbe; 2° parallèlement à une droite donnée
197... 199. De la tangente par rapport aux rayons vecteurs passant par le point de contact. - Moyen de mener une tangente par un point donné, 1° sur la courbe; 2° hors de la courbe
200. Remarque sur les dénominations de foyers et de rayons vecteurs
201... 203. Conséquences des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs
204... 207. Passer de l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes principaux, à l'équation de la même courbe rapportée à des diamètres conjugués; et réciproquement. - Relations entre les axes et les diamètres conjugués. - Propriétés du parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugués.
208. Système de diamètres conjugués égaux. - Équation de la courbe rapportée à ce système
209... 210. Les propriétés démontrées indépendamment de l'inclinaison des axes sont vraies pour un système quelconque de diamètres conjugués. - Relations entre les carrés des ordonnées des points de la courbe; construire la courbe connaissant un système de diamètres conjugués en grandeur et en direction
211... 213. De la tangente à l'ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués; tangente menée par un point pris sur la courbe; tangente menée par un point extérieur. - Propriété déduite de la construction de cette tangente, et réciproque de cette propriété
214. Une ellipse étant tracée sur un plan, 1° déterminer son centre et ses axes principaux; 2° trouver un système de diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné
215... 217. Analogie entre l'ELLIPSE et l'HYPERBOLE. - Caractères analytiques des points pris sur la courbe, au dedans et au dehors de la courbe
218. Relation entre les carrés des ordonnées des points de la courbe
219. Rapportentre l'ordonnée d'une hyperbole quelconque et celle de l'hyperbole équilatère
220. Dans l'hyperbole, tous les diamètres sont des lignes droites passant parle centre
221... 223. Diamètres conjugués. - L'hyperbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués dont un seul est rectangulaire, celui des axes principaux. - Propriétés des diamètres conjugués. - Diamètres conjugués transverses et non transverses; construction des lignes de séparation entre les diamètres transverses et les diamètres non transverses
224... 225. Cordes supplémentaires; leurs propriétés et leurs relations avec les diamètres conjugués
226... 230. Tangente menée par un point de la courbe. - Sous-tangente. - Normale et sous-normale. - Discussion du coefficient angulaire de la tangente
231. Tangente menée par un point extérieur. - Propriété déduite de sa construction. - Tangente parallèle à une droite donnée
232. De la tangente considérée par rapport aux diamètres conjugués. - Procédé pour mener une tangente, 1° par un point donné sur la courbe; 2° parallèlement à une droite donnée.
233... 235. De la tangente par rapport aux rayons vecteurs passant par le point de contact. - Moyen de mener une tangente par un point donné, 1° sur la courbe; 2° hors de la courbe
236. Remarque sur les dénominations de foyers et de rayons vecteurs
237. Conséquences des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs
238... 240. Passer de l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes principaux à l'équation de la même courbe rapportée à des diamètres conjugués; et réciproquement. - Relations entre les axes et les diamètres conjugués. - Propriétés du parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugues.
241. Dans une hyperbole qui n'est pas équilatère, il ne peut exister aucun système de diamètres conjugués égaux
242. Diverses propriétés de la courbe, indépendantes de l'inclinaison des axes. - Tangente à la courbe rapportée à des diamètres conjugués
243. Définition générale d'une droite asymptote à une courbe
244... 245. Détermination des asymptotes de l'hyperbole
246... 251. Propriétés de l'hyperbole par rapport à ses asymptotes
252... 254. Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. - Déduire de cette équation les propriétés déjà démontrées
255... 256. Équations d'une sécante et de la tangente à la courbe rapportée à ses asymptotes. - Conséquences déduites de ces équations
257. Construction de l'hyperbole, lorsque l'on connaît les asymptotes et un seul point de la courbe
258. Observation préliminaire sur l'étude des propriétés de la parabole comparée à l'étude des propriétés de l'ellipse et de l'hyperbole
259. Caractères analytiques des points pris sur la courbe, au dedans et au dehors de la courbe
260. Rapport des carres des ordonnées, appelé le paramètre de la courbe
261. La parabole n'a pas d'asymptotes
262. Construction de la courbe, déduite du rapport des carrés des ordonnées
263. Mesure d'un segment parabolique
264... 266. Tangente et sous-tangente. - Normale et sous-normale. - Discussion du coefficient angulaire de la tangente
267... 268. De la tangente par rapport au rayon vecteur passant par le point de contact. - Moyen de mener une tangente par un point donné, 1° sur la courbe; 2° hors de la courbe
269... 270. Conséquences de la propriété de la tangente par rapport au rayon vecteur
271. Dans la parabole, tous les diamètres sont des lignes droites parallèles à l'axe principal
272... 273. Axes conjugués. - Équation de la courbe rapportée à un système d'axes conjugués. - La parabole a une infinité de systèmes d'axes conjugués. - Évaluation géométrique du paramètre de la parabole rapportée à un de ces systèmes
274. Rapport des carrés des ordonnées; construire la courbe, connaissant l'angle de deux axes conjugués et le paramètre correspondant
275... 276. De la tangente à la parabole rapportée à un système d'axes conjugués; tangente menée par un point extérieur. - Propriété déduite de la construction de cette tangente, et réciproque de cette propriété
277. Définitions. - Pôle. - Rayon vecteur
278... 279. Formules pour la transformation des coordonnées rectilignes en coordonnées polaires, et réciproquement
280... 281. Exemples d'équations polaires, et conséquences qui s'en déduisent: équations polaires du cercle et de l'hyperbole, le pôle étant placé au centre
282... 286. Équations polaires de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole, un foyer étant pris pour pôle. - Discussion de ces équations
287. Équation polaire commune aux trois courbes. - Ce qu'on appelle excentricité
288. Étant donnée, dans le cas d'axes rectangulaires, l'équation commune aux trois courbes du second degré, rechercher dans le plan de chaque courbe les points tels, que leur distance à un point quelconque de la courbe soit une fonction rationnelle de l'abscisse de ce dernier point
289. Déterminer la nature et la position des diamètres dans les trois courbes du second degré
290... 291. Une droite étant menée à volonté dans le plan d'une courbe du second degré, si, de chacun de ses points, on mène deux tangentes à la courbe, et qu'on joigne les deux points de contact correspondants, toutes ces lignes concourent en un même point. - Fixer la position de ce point de concours
292. Une portion de courbe du second degré étant tracée sur un plan, - 1° déterminer sa nature; - 2° achever cette courbe et en déterminer les axes ainsi que les éléments principaux.
293. Connaissant les longueurs de deux diamètres conjugués d'une ellipse ou d'une hyperbole, et l'angle qu'ils font entre eux, trouver les longueurs des axes principaux
294. Réciproquement, étant donnés les axes principaux d'une ellipse ou d'une hyperbole, trouver deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle droit
295. Remarques sur les deux dernières questions
296... 301. Division des courbes du second degré en trois genres. - Variétés de chacun des genres
302... 304. Construction d'un système d'axes ou de diamètres conjugués, déduite de la séparation des variables dans l'équation générale du second degré
305. Remarque sur l'application de cette méthode à la détermination des axes principaux..
306... 307. Construction des asymptotes dans l'hyperbole, déduite de la séparation des variables dans l'équation générale du second degré. - Cas où l'équation est privée soit de l'un des carrés des variables, soit de tous deux
308. Remarque sur la construction des courbes en général
309. Récapitulation de la discussion de l'équation générale du second degré par la séparation des variables
310... 311. Construction de paraboles données en équations numériques.
312. Remarque sur la détermination des points limites dans la construction des courbes en général
313. Construction d'ellipses données en équations numériques
314. Construction d'hyperboles données en équations numériques.
315. Mode de détermination des asymptotes dans les courbes en général, fondé seulement sur la définition de ces sortes de lignes
316. Observations générales sur la construction des courbes
317. Construction de courbes de degré supérieur. - Folium de DESCARTES
318. Construction de lignes données en équations polaires
319... 323. Nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe du second degré. - Cas où l'on donne le centre ou un système d'axes ou de diamètres conjugués; moyen assez simple de construire la courbe dans ces derniers cas
324... 326. Cas où l'on donne un foyer. - Propriété remarquable du foyer et de la directrice. - Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant un foyer et trois points, ou une parabole, connaissant un foyer et deux points
327. La connaissance d'un sommet de la courbe équivaut à deux conditions
328. Solutions géométriques pour la détermination d'une courbe du second degré, d'après des conditions données: plusieurs questions résolues; énoncés de questions à résoudre
329. Propriété des transversales, commune aux trois courbes du second degré
330. Construction des racines de l'équation du second degré
331... 339. Construction des racines des équations du troisième et du quatrième degré. - Application à la trisection de l'angle et à la duplication du cube
340... 343. Détermination, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles dans les équations numériques à une inconnue
344... 349. Problèmes sur les lieux géométriques, se rapportant aux courbes du second degré
350... 351. De quelques courbes remarquables: cissoïde de DIOCLÈS; conchoïde de NICOMÈDE
352. Ce qu'on entend par des ellipses et des hyperboles semblables. - Deux ellipses ou deux hyperboles semblables jouissent de toutes les propriétés des figures semblables de la Géométrie
353. Deux paraboles quelconques sont toujours des figures semblables
354. Remarque sur les paramètres dans les courbes en général
355. L'intersection d'un cône droit ou oblique, à base circulaire, par un plan, donne lieu aux trois courbes du second degré, ou à une de leurs variétés
356... 357. Une courbe du second degré étant donnée, on peut toujours la reproduire au moyen de l'intersection d'un plan et d'un cône droit
358. De la section antiparallèle ou sous-contraire dans le cône oblique à base circulaire
359. Manière d'obtenir l'équation la plus générale d'une section plane dans le cône oblique à base circulaire
360. Ce qu'on entend par sections coniques semblables
361... 363. De la section plane dans un cylindre droit ou oblique à base circulaire
364...368. Moyen de fixer analytiquement la position d'un point dans l'espace; ce qu'on entend par équation d'un point. Leur discussion
369. Expression de la distance entre deux points, dans le cas d'axes rectangulaires
370... 373. Moyen de déterminer la position d'une droite dans l'espace; ce qu'on entend par les équations d'une droite
374... 375. Trouver les équations d'une droite assujettie à remplir certaines conditions
376. Condition pour que deux droites dans l'espace se rencontrent; trouver les coordonnées de leur point d'intersection
377... 379. Trouver l'angle de deux droites dans l'espace, et ceux qu'une droite forme avec les axes coordonnés
380. Conditions de parallélisme et de perpendicularité de deux droites
381. Scolie général, relatif à l'inclinaison des axes
382... 385. Moyen de fixer analytiquement la position d'un plan dans l'espace; équation du plan; équations de ses traces; forme symétrique de l'équation du plan
386...388. Faire passer un plan, 1° par trois points donnés; - 2° par un point et une droite donnés. - Remarque sur les conditions que fournit la seconde question
389... 392. D'un point donné abaisser 1° une perpendiculaire sur un plan donné; - 2° un plan perpendiculaire à une droite donnée. - Trouver, dans le premier cas, la longueur de la perpendiculaire, et dans le second, la distance du point à la droite. - Conséquence du second problème
393... 394. Par un point donné dans l'espace, mener un plan parallèle à un autre; conditions de parallélisme de deux plans. - Distance de deux plans parallèles
395. Trouver les équations de l'intersection commune de deux plans
396... 398. Trouver l'angle de deux plans et ceux qu'un plan forme avec les plans coordonnés; condition de perpendicularité de deux plans
399. Trouver l'angle d'une droite et d'un plan
400. Plus courte distance de deux droites données par leurs équations
401. Scolie général
402... 404. Notions préliminaires sur les surfaces courbes. Comment fixer, en général, la position d'une surface, d'une ligne et d'un point dans l'espace
405. Énoncé général du problème de la transformation des coordonnées dans l'espace
4060.. 407. Passer: 1° d'un système de coordonnées quelconques à un système de coordonnées parallèles d'origine différente; - 2° d'un système rectangulaire à un système oblique de même origine
408. Expression de la distance entre deux points, dans le cas d'axes obliques
409... 411. Passer d'un système rectangulaire à un autre système rectangulaire. - Cas particuliers; formules propres à faire connaître la nature des intersections d'une surface courbe par un plan
412... 415. Équations de la surface SPHÉRIQUE et de son plan tangent
416.. 417. Équation générale des surfaces CYLINDRIQUES. Caractère de ces sortes de surfaces
418... 419. Équation générale des surfaces coniques. Caractère de ces sortes de surfaces
420... 421. Équation des surfaces conoïdes; cas particulier
422... 426. Équation générale des surfaces de RÉVOLUTION. Leur caractère. - Cas particuliers: ellipsoïde, hyperboloïde et paraboloïde; propriété remarquable du paraboloïde de révolution
427... 432. Formes auxquelles on peut toujours, par une double transformation de coordonnées, ramener l'équation générale du second degré à trois variables. - Exception à cette double transformation
433. Division des surfaces du second degré en surfaces DOUÉES D'UN CENTRE et en surfaces DÉNUÉES DE CENTRE. - Plans diamétraux
434... 435. Discussion de l'équation aux ELLIPSOÏDES. - Cas particuliers et variétés de ce genre de surfaces
436... 439. Discussion de l'équation aux HYPERBOLOÏDES à deux nappes ou à une nappe. - Cas particulier: surface conique; propriété remarquable de cette surface
440... 443. Équation aux deux paraboloïdes elliptique ou hyperbolique. - Cas particulier: paraboloïde de révolution. - Génération de ces deux surfaces
444. Résumé de la discussion précédente: division des surfaces du second degré en cinq genres
445. Manière de reconnaître la nature des intersections d'une surface du second degré par un plan
446... 448. Prouver que toute surface du second degré (à l'exception du paraboloïde hyperbolique) donne lieu à deux systèmes de sections circulaires. - Lieu géométrique des centres de toutes ces sections
449... 450. Des plans tangents aux surfaces du second degré: équation du plan tangent aux surfaces douées d'un centre; équation du plan tangent aux surfaces dépourvues de centre. - Normale
451. Mener un plan tangent par un point pris hors de la surface; propriété de la courbe de contact
452... 454. Génération de l'hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique par le mouvement d'une ligne droite
NOTE I. - Sur le théorème des projections et la transformation des coordonnées.
NOTE II. - Sur le centre des distances proportionnelles
NOTE III. - Sur la distance d'un point à une droite et sur la surface du triangle déterminé par trois points
NOTE IV. - Sur la discussion de l'équation générale du second degré..
NOTE V. - Sur l'interprétation des inégalités en géométrie analytique.
NOTE VI. - Sur les lieux géométriques
NOTE VII. - Sur les déterminants et leur application géométrique
NOTE VIII. - Sur la réduction de l'équation du second degré à sa forme la plus simple par le changement des coordonnées
NOTE IX. - Sur les théorèmes relatifs aux diamètres conjugués dans l'ellipse
NOTE X. - Sur la théorie des tangentes
NOTE XI. - Sur l'intersection de deux courbes du second degré
NOTE XII. - Sur l'équation qui détermine les couples de sécantes communes à deux courbes du second degré
NOTE XIII. - Sur la détermination des courbes du degré m passant par un nombre donné de points
NOTE XIV. - Du plan tangent dans les surfaces algébriques
NOTE XV. - Du plan polaire dans les surfaces du second degré
NOTE XVI. - Du centre et des plans diamétraux
NOTE XVII. - Des plans principaux dans les surfaces du second degré..
NOTE XVIII. - De la réduction de l'équation du second degré à sa forme la plus simple par le changement des coordonnées